数学A「図形の性質」を捨てる前に今すぐ取り組みたい「正しい学習法」

数学A「図形の性質」を捨てる前に今すぐ取り組みたい「正しい学習法」

こんにちは。
数学講師の大塚志喜です。

今回は数学Aの「図形の性質」についてお話しします。
この分野は選択問題になっていて,選択を避ける受験生が多い分野です。

それゆえ「図形の性質」には最初から手をつけず,残りの確率と整数だけ学習を進める受験生も少なくありません。
しかし,それは必ずしもいい結果に結びつくわけではなく,マイナスになってしまう場合もあります。

この記事では,図形の性質を捨ててしまうことによるデメリットと,どう勉強していけばいいかについてお話ししていきます。

数学の選択分野をあらかじめ決めていると,ギャンブル要素が増える

選択分野をあらかじめ確定してしまうと,ギャンブル要素が増えることになります。

例えば図形を完全に捨てたときに,確率の序盤によくわからない問題がきて,「それを使わなければ以降の問題が解けない」なんてことが起こってしまったらどうですか?

数学の試験ではこのような事件がよく起こります。

数学の選択問題全ての難易度を同じにすることなどほぼ不可能です。
どうしても分野の間で難易度の偏りがでてきます。
たまたま図形が難しい年に当たればラッキーですが,そうでない場合は地獄を見ることになります。

最終的に図形を選ばないにしても,中盤くらいまでは手が出る程度には勉強を進めておくと十分保険になります。
転んだ時の得点をどん底に落とさず,被害を最小限に食い止める保険は用意しておいて損はありません。

 

図形問題では「同じ図形に出会う」ことがほぼない

図形問題の一番厄介なところは,「同じ図形に出会うことがほぼない」というところでしょう。

図形問題では,他の分野のように「ただ数字や式を変えるだけですぐに経験に落とし込める」問題が極端に少ないです。

それゆえ,他の分野と同じような「パターンに当てはめる」勉強をしてもなかなか実戦力がつきません。
そして,結果として図形を捨ててしまうということになる受験生が非常に多いと感じられます。

 

 図形分野の勉強の仕方


しかし,「実践力」がつかないのはそもそも勉強の仕方に対する認識を間違えているだけの場合が非常に多いです。

数学の他の分野では「こうすれば解ける」というのが実行しやすい問題が非常に多いので錯覚しがちなのですが,そもそも数学は「パターンに当てはめる」勉強の仕方をしているとちゃんとした力が身につかない科目です。

 

例)角の二等分線の性質

例えば次の事実についてお話ししてみます。

これは角の二等分線の性質と呼ばれている,非常によく使う事実です。

図形の力がなかなかつかない受験生は,この事実を「覚えて,これを使うとすぐに解ける練習問題を何問かやるだけ」 でこの事実についての学習を終えてしまいます。

そんな勉強をしていると,「複雑な図形の中に紛れ込んでいるが,実は特定の技術を使うと簡単に解けてしまう問題」には手も足も出なくなってしまいます。

 

常に「なぜ」を大切にする

そうならないために,常に「なぜ」を大切にしてください。

「そんな事実があるのか」で終わるのではなく,「そんな事実があるのか。本当かなぁ。どうしてこんな結果が成り立つなんて言えるんだろう」と,その事実が成り立つ理由にこだわってください。

そして,その理由を説明できるようになることが,目の前にある提示された事実 (今は角の二等分線の性質) の学習のスタートです。

例えば今回の問題は次のように理由を説明することができます。

 

角の二等分線の性質が成り立つ理由


図のように,点$\rm{D}$から辺$\rm{AB},\rm{AC}$へ垂線$\rm{DH}_1 ,\rm{DH}_2$を引く。このとき,
・$\angle \rm{H}_1 \rm{AD}=\angle \rm{H}_2 \rm{AD}$
・$\rm{AD}=\rm{AD}$
・$\angle\rm{AH}_1 \rm{D}=\angle \rm{AH}_2\rm{D}=90^\circ$
なので,$\triangle\rm{ADH}_1 \equiv \triangle\rm{ADH}_2$である。よって$$\rm{DH}_1 =\rm{DH}_2$$
となっていることがわかる。

$h=\rm{DH}_1 =\rm{DH}_2$と置くことにする。また,$\triangle\rm{ABC}$の,辺$\rm{BC}$を底辺と見たときの高さを$h′$とし,$\triangle\rm{ABD}$の面積と$\triangle\rm{ACD}$ の面積をそれぞれ$S_1 ,S_2 $と置くことにする。
すると,$$S_1 =\rm{AB}·\textit{h}·\frac{1}{2},\textit{S}_2 =\rm{AC}·\textit{h}·\frac{1}{2}$$であるから,$$S_1:S_2=\rm{AB}·\textit{h}·\frac{1}{2}:\rm{AC}·\textit{h}·\frac{1}{2}=\rm{AB}:\rm{AC}· · · ①$$
である。また,$$S_1 =\rm{DB}·\textit{h′}·\frac{1}{2},\textit{S}_2 =\rm{DC}·\textit{h′}·\frac{1}{2}$$でもあるから,
$$S_1 :S_2 =\rm{DB}·\textit{h′}·\frac{1}{2}:\rm{DC}·\textit{h′}·\frac{1}{2}=\rm{DB}:\rm{DC}· · · ②$$も成り立つ。①, ② より,
$$\rm{AB}:\rm{AC}=\rm{DB}:\rm{DC}$$である。(理由終わり)

 

事実の理由説明には「学ぶべき要素」が散りばめられている

このように,角の二等分線の性質が成り立つのには理由があります。
※もちろん方針はこれだけではありません。たくさんの方針がある中の一つの方針を述べただけです。

この理由の中にはたくさんの学ぶべき要素が散りばめられています。

まずは垂線の使い方。最終的に高さとして活用していますね。
次に直角三角形の合同条件。
面積比の利用。

どれも大事な知識です。

このように,事実の理由説明の中には実践でよく見かける大事なポイントがたくさん詰まっています。
それを「使いながら」体験できるのが非常に効率が良いと思いませんか?

このように,知っている公式や新しく勉強した公式について「理由が説明できるようになる」という方針で図形の勉強をしていくと,ただ知識を得るだけでなくその周辺の大事な知識やその使い方まで実践的に勉強することができます。

図形問題が苦手という皆さんには,結果は知っているけれどもなぜそうなるかわからないという公式がたくさんあるのではないでしょうか。
その穴埋めをしていくだけでもかなり効率よく勉強していくことができますよ。

 

 おわりに

さて,今回の記事はどうだったでしょうか。

「成り立つ事実」に対して,常に「なぜ」を考えて勉強していくことは,図形問題に限らず数学では全ての分野で重要になってくるスタンスです。
そしてそれが露骨に差になってくるのが図形分野です。

しっかりとした勉強法で積み重ねていけば,もしかしたら受験当日には確率や整数よりも得点率が高い分野になっているかもしれませんよ。

今度は,受験生になってから慌てないために,非受験学年の皆さんが図形の学習をどう進めていくと良いのかについてお話ししていこうと思います。
また次回の記事でお会いしましょう。

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