【数学Ⅰ】数と式の学習をする際に必ず意識すべきポイント

こんにちは。数学講師の大塚志喜です。
今回の記事では、数学Iで扱う「数と式」の分野について書いていこうと思います。

「数と式」は、高校数学で一番初めに学習する分野です。
共通テストはもちろん、その他の分野でもここで学ぶ知識や技術はガンガン使っていくことになります。
苦手な部分を作らないようにしっかりと理解しておくことで先の学習にもつながります。

頑張っていきましょう。

「数と式」の全体像


数と式では大きく

1. 整式の計算
2. 実数
3. 1次不等式の計算

の3つに分けることができます。

実はほとんどが中学の復習になっていて、中学での数学を「ちゃんと」やっていた人にとっては大部分が簡単に思えてしまう部分になっています。

しかし、ただ公式を覚えるだけで高校受験を乗り切ってしまった人にとっては、苦戦するところかもしれません。
煩雑な部分が増え、公式を覚えるだけではマスターすることはできません。

そういう人は、これから高校数学の勉強を始めるいいタイミングですから、今しっかりと勉強の仕方を学び、修正しておきましょう。

 

整式の計算


ここでは整式についての基本的な計算を扱います。

単項式、多項式などの用語が登場しますが、この分野に限らず、用語については「この用語は〜という意味です」と他人に説明できるようになりましょう。

基本的な用語をしっかりと理解していないことが原因で、解答の意味がわからなくなってしまうことがよくあります。
用語はしっかりと覚えましょう。

 

展開と因数分解の計算

整式の計算で一番大事になってくるのは、展開と因数分解の計算です。

特に因数分解は、ただ公式に当てはめてやってきた人ほど困ることになります。
あくまでも「因数分解は展開計算の逆計算なんだ」という気持ちを持つことが大切です。

公式に当てはめようと思うと、公式の種類や文字の個数が多くとても大変です。

一つ例を出してみようと思います。

例題$3x² – 4x – 7$を因数分解しなさい。

 

例題の考え方

$3x^2 -4x-7$を因数分解するということは、$$3x^² -4x-7= (○x+△)(□x+▽)$$の形にすればよい、といういことです。
ここで視点が $3x^2 -4x-7→(○x+△)(□x+▽)$でなく$3x^2 -4x-7←(○x+△)(□x+▽)$となって欲しいわけです。

つまり、

「$(○x+△)(□x+▽)$を展開して$3x^2 -4-7$にするためには、$○, △, □, ▽$の位置に何を置けばよいか」

と考えて欲しいのです。
先頭の「$3x^2$」は「$○x×□x$」から出てくるわけですから、ここから$$(○x+△)(□x+▽)=(3x+△)(x+▽)$$となることが見えます。

「これを展開すると$3x^2$が出てくるなあ」と当たり前に思えることが重要です。

あとは最後の$-7$に注目します。
定数項は$△×▽$からしか出てきませんから、$1$と$7$が入るなあとなり、あとは展開して$-4x$が出てくるように$1$と$7$を配置すると考えると、$$3x^2 -4x-7= (3x-7)(x+1)$$と因数分解できることがわかります。

たしかに右辺を展開すると左辺に戻ります。
これが正解です。

このように、因数分解をする際は「展開してこうなるのであれば、ここにこれを配置するとよい」という意識を持ってやってみてください。

やっていることは、教科書に載っている「たすき掛け」と全く同じなのですが、たすき掛けは2次式の因数分解でしか用いることができません。
進んでいくと3次以上の整式が普通に出てきますから、たすき掛けは身につけるだけ時間と労力の無駄です。

今だけでなく、これから先も使える技術を今のうちに自分のものにしておきましょう。

 

実数――「有理化」と「絶対値」がテーマ


次に実数についてお話ししていきます。

ここでは「有理化」と「絶対値」が大きなテーマになっています。

有理化については、中学校からの発展ですし、やり方もほぼワンパターンですから困ることはほとんどないでしょう。

問題は絶対値です。
ここがしっかりと理解できないで先に進んでしまう人が毎年非常に多いです。

しっかりと記号の意味を押さえましょう。

 

数値の表し方

少し脱線した話をします。
$1234$を見たとき、みなさんにはこれがどう見えていますか?

これで「せんにひゃくきゅうじゅうよん」というひとつの「数値」が書いてあるように見えるのではないでしょうか。
しかし、この「数値」を表すために、「数字」を $1, 2, 3, 4$の$4$個用いています。
つまりここでは、「$4$個の数字 (文字)」を用いて、「ひとつの数値」を表していることになっています。

このように算数や数学では、「複数の文字を用いた文字列」で「ひとつの数値」を表すことが多々あります。
このようなものが出てきたときには、ただ計算の仕方を練習するだけでは絶対にいけません。

「この表記は〜という数値を意味している」というように、その表記の本質的な意味がしっかりと理解するところがスタートで、「意味から考えれば、このように計算することができるのは当たり前だね」と思えるようになることが次のステップになります。

最初のステップを飛ばしてしまうとわけがわからなくなってしまいます。
最初を大切にしてください。

 

絶対値とは何か

ということで絶対値の説明をしてみようと思います。

絶対値とは以下のことを言います。

ある実数$a$について、数直線上に$a$を図示したときに、原点 $(0)$と$a$との数直線上の距離のことを、実数$a$の絶対値と呼ぶことにする。
$a$の絶対値のことを$ |a|$と表記することにする。

つまり絶対値とは数直線上の「長さ」のことであり、この長さのことを毎回「原点$(0)$と$a$との数直線上の距離」と書くのが面倒なので、以後「原点$(0)$と$a$との数直線上の距離」のことを「$|a|$」と書くことにしよう、ということです。

まずはこの記号の意味をしっかりと押さえましょう。
結局長さを表しているだけです

ここから具体的な計算に入っていくと理解しやすいのではないでしょうか。
絶対値はこれから先でもたくさん登場するので、今のうちにしっかりと理解しておくようにしましょう。

 

1次不等式


1次不等式は比較的計算しやすいのではないでしょうか。
計算のやり方は方程式の計算とはとんど変わりません。

ただ、全く同じというわけではありません。
両辺に負の数をかけると不等号の向きが変わったり、連立するときにも少し注意が必要であったりします。

このような計算ミスは最後の最後までついてきます。
勉強し始めのこの時期にしっかりと計算練習をして、方程式とは少し違う計算の感覚を磨いてください。

 

おわりに

「数と式」という分野では、ほとんどが計算になっていてあまり面白く感じないかもしれません。
しかし、ここでしっかりと計算力を磨いておかなければ、これから先の学習にとても悪い影響を与えることになってしまいます。

まずは教科書の問題を全て計算できるように練習し、問題集の計算練習をガンガンこなしていってください。

今回はこの辺で失礼します。また次の記事でお会いしましょう。

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