整数の性質の学習を効果的に進めていくために役立つ3つの指針

こんにちは。数学講師の大塚志喜です。

さて,今回の記事では,整数の性質の学習方針についてお話ししていこうと思います。
整数に関する分野は「数学の女王」と呼ばれているほど難問の多い分野です。

他の分野でももちろんそうなのですが,この分野では特に,ただ適当に問題を解いて解き方を覚えていっても初見の問題に対応する能力は身につきません。
やはりいつも言っているように土台が大切なのです。

今回は整数に関する問題に挑戦していくうえでものすごく大切になってくる土台について話をしていきます。

大学入試は「解ける問題」が出題される

先ほど難問が多いといいましたが,それはあくまでも範囲制限のないときの話です。

大学入試はまず解ける問題が出題されることが前提です。
また,仮に解けることが知られている問題であっても,受験生の誰一人も解くことができない問題など出してしまっては選抜になりません。

試験では,合格に必要な能力が身についていれば解けるはずの問題しか出題されません。
したがって,入試で出題される整数問題はかなり難易度を落とされたものになります。

しかし,難易度を落としてあるからと言っても適当に勉強していてはダメです。
しっかりと土台を作っていきましょう。

整数問題を解きほぐす3 つの方針

まず,今自分達は「整数問題の解き方」について考えていることを自覚しましょう。
整数を扱う上では,実数や複素数を扱うときとは違った考え方をしなければなりません。

つまり,「整数」と「実数や複素数」にどんな違いがあるかに着目していきましょう。

その違いにこそ整数問題を解きほぐしていく方針が隠されています。

皆さんが最低限身につけなければいけない考え方はたった3つです。
これから皆さんが出会う整数問題のほとんどは今から話していく3つの方針の派生になっています。

具体的に見ていきましょう。

整数問題の考え方①――掛け算利用

まず,次の方程式を考えてみます。
$$xy = 3$$
この方程式を満た$x$と$y$の組$(x, y)$について考えてみましょう。

xとyが実数・複素数の場合

もし$x$と$y$が実数だったらどうでしょうか。

$(1, 3),(-\dfrac{3}{100},-100),(\sqrt{3},\sqrt{3})$など,それこそ無限にあります。

図示することもできますね。

$x\neq 0$ですから,$xy=3$という方程式は$y=\dfrac{3}{x}$と同値変形することができます。

このグラフは中学1年で学習しますね。
反比例のグラフです。

$x$軸と$y$軸を漸近線にもつ双曲線になりますよね。
$x$と$y$が実数であれば,このグラフ上の点$(x, y)$がすべて,方程式$xy=3$の解になります。

さらに$x$と$y$を複素数とするとどうでしょう。

数学IAの範囲からは外れますが,$(3i, -i)$なども解になります。

とてつもない数の解があるわけです。

xとyが整数の場合

それに対して,もし$x$と$y$が整数だったらどうでしょうか。

状況がガラッと変わります。

なんと解は$(1, 3),(3, 1),(−1, −3),(−3, −1)$のたった$4$組しかありません。

実数や複素数の世界とは全然違います。
これが先ほど言っていた,「整数」と「実数や複素数」の違いです。

整数は掛け算と相性が良い

まず一つ目の違いとして,掛け算との相性の良さがあります。

整数は掛け算の形にすると,その式を満たす整数がかなり絞り込めてしまいます。
これを利用しない手はありません。

ということで,まず一つ目の方針は「掛け算にすることはできないか?」という考え方です。

それでは,なぜ整数と掛け算は相性がいいのでしょうか。

その裏にあるのはずばり「素因数分解の一意性」です。
一意性とは,「必ずただ一つに定まる」ということです。
自然数があると,その素因数分解の結果は,順序の違いを除いてただ一通りに定まります。

実数や複素数では掛け算での表し方が無数にありますが,整数や自然数では素因数分解の仕方が一つに定まってしまうことから,その組み合わせがものすごく少ないというわけです。

整数は素数や最大公約数・最小公倍数の議論との相性も良い

また,素因数分解が背景にあるということは当然素数との相性がいいです。
また,素因数分解を利用して考えることができる最大公約数や最小公倍数の議論とも非常に相性がいいです。

このように,ただ「掛け算がいいんだ」で終わるのではなく「掛け算に着目すると,素数に関する話,約数や倍数に関する話などに派生していくんだ」と,具体的な問題を通して経験を積んでいくのが大切になります。

このように「整数」と「実数や複素数」の違いを考えていきます。
次にいきましょう。

整数問題の考え方②――余りの利用

次は,これら4つの式について考えてみましょう。
$$x+y, x−y, x\times y, x\div y$$
あ,ただし割り算に関しては,$y\neq 0$としてくださいね。

さて,もし$x$と$y$が実数だと,これら$4$つの式の計算結果はどうなるでしょうか。

すべて実数になりますよね。

$x$と$y$が整数の場合

しかし,$x$と$y$が整数だとどうでしょうか。

一つだけ仲間はずれがいますよね。
そう,割り算です。

足し算と引き算,掛け算に関しては計算結果が必ず整数になります。
しかし割り算に関しては,むしろ計算結果が整数になることのほうが珍しいですよね。

例えば$13\div 5=2.6$です。
このように割り算だけが,答えが整数の世界から飛び出してしまうことがあるんですね。

しかし,思い返してみると,小学校では小数や分数を学習するよりも前に割り算を習います。
つまり,小数や分数を知らなくても$13\div 5$を計算できた時期が僕たちにもあったわけです。

そうです。「余り」を使って答えていましたよね。
余りを用いることによって,整数の割り算の計算結果を必ず整数で表すことができたわけです。
「余り」は,実数や複素数にはない整数独特の考え方であることがわかりますね。

ということで二つ目の方針は「何かで割り算したときの余りがどうなってるか」という考え方です。

整数問題の考え方③――区間限定

最後に着目する違いは,実数の稠密ちゅうみつ 性と整数の離散性です。
難しい言葉が出てきましたが,言おうとしていることは大したことではありません。

次のような不等式が与えられたとします。
$$2 < x < 4$$
この不等式を満たす実数$x$は無限にありますが,整数$x$は$x=3$しかありません。

整数が不等式と相性が良い理由は実数の稠密性と整数の離散性にある

整数はこのように不等式と非常に相性が良いのです。
その理由が実数の稠密性と整数の離散性にあるわけです。

数直線を想像してみてください。
実数は数直線上に隙間なくびっしり詰まっていますよね。
このことを「実数は稠密である」と言っているだけです。

ぎっしり詰まっていては,範囲を絞ったとしてもその範囲の中にも実数はぎっしり詰まっていますので,全然絞り込めないわけです。

それに対して整数はどうでしょう。
スカスカです。

このような状態を「離散的である」といいます。
もともとがスカスカですから,範囲を絞り込んでしまえばその範囲の中にある整数もほとんどないことがわかるでしょう。
だから整数は不等式と相性が良いのです。

ということで三つ目の方針は「不等式で絞り込むことはできないか」という考え方です。

算数オリンピックの問題を題材にした実践

以上の3 つの方針が理屈からしっかりと頭の中に入ると,基本問題レベルで訳がわからなくて困ることは大学受験レベルではまずそうそうありません。

試しに一つ問題を考えてみましょう。
大学入試の問題とはいきませんが,算数オリンピックの問題を考えてみようと思います。

例題

よしこさんは魚屋さんで次のそれぞれの魚をどれも$1$匹以上,ちょうど$3600$円分買いました。

  • •さば $1$匹あたり$130$円
  • •あじ $1$匹あたり$170$円
  • •いわし $1$匹あたり$78$円
  • •さんま $1$匹あたり$104$円

さて,よしこさんはあじを何匹買ったことになるでしょう。

こんな問題です。ぜひ皆さん挑戦してみてください。

仮に解けなかったとしても,「どう頭を使ったか」を意識しましょう。
それと以下の解説を比べてみてください。

必然性が伝わると思います。

算数オリンピックなのに方程式を使うなというツッコミは一切受け付けません(笑)

解説

まず与えられた状況を数式に翻訳しましょう。
さば,あじ,いわし,さんまをそれぞれ$x$匹$,y$匹$,z$匹$,w$匹買ったとすると,次の等式が成り立つのはいいでしょう。
$$130x + 170y + 78z + 104w = 3600\\ \iff 65x + 85y + 39z + 52 = 1800$$
これで$y$を求めろと言っている訳です。
どうしましょうか。

整数問題は「掛け算」「余り」「不等式」が基本です。
どうしようかではなく,この中のどれを使おうかと考える癖をつけましょう。

まずは掛け算です。

$65,85,39,52,1800 $すべての素因数分解を考えると,

  • •$65 = 5 × 13$
  • •$85 = 5 × 17$
  • •$39 = 3 × 13$
  • •$52 = 2^2 × 13$
  • •$1800 = 2^3 × 3^2 × 5^2$

と書くことができます。
そして,$x,y,z,w$の中で$y$だけを求めなさいと言われています。

ほら,「あれ,$4$つの中で$y$の係数だけが$×13$を持っていないぞ」と気づくはずです。

そう,$y$の項以外すべて$13$で割り切れるのです。
ということは左辺を$13$で割った余りは,$85y$を$13$で割った余りと一致することがわかります。

ところで,$1800$を$13$で割ると余りは$6$です。
したがって,$85y$を$13$で割った余りも$6$であることがわかります。

また,$y$はそれほど大きくなることができません。
なぜなら合計金額が$3600$円で,あじ以外も最低$1$ 匹買っていますから,あじの合計金額はどんなに高くても$3600−130−78−104=3388$円です。

よって$170y \leqq 3388 \iff y \leqq 19.9 \cdots$である必要があります。
よって$y$は$1$以上$19$以下であることがわかります。

この中で$85y$を$13$で割ったときの余りが$6$となるのは,$85$を$13$で割った余りが$7$であることを利用すると,$y=12$しかないことがわかります。
ここでは合同式を考えてもいいですし,たった$19$種類ですから全部代入して調べても良いと思います。

よってあじは$12$匹買われています。

適当にその場凌ぎで解き方を考えるのではなく,持っている道具をどう使うかという視点で考えるとこのように考えることができるのではないかと思います。

皆さんは解けましたか?

おわりに

今回の記事はいかがだったでしょうか。

整数の性質は土台さえしっかり作ってしまえばかなりたくさんの問題がその場で解けるようになります。
まずは土台作りから頑張ってみましょうね。

では今回はこの辺で。
また次の記事でお会いしましょう。

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