数学Ⅲを独学で勉強する人のためのタイプ別学習法


どうも、みなさんこんにちは。高橋佳佑です。

理系の大学入試において、数学Ⅲに関係する内容が占める割合は非常に高いです。
特に、微分法・積分法は必ず出題されます。
今回は、数学Ⅲを独学で習得する方法についてお話します。

数学Ⅲの分野とⅠAⅡBとのつながり

数学Ⅲの単元は「複素数平面」、「平面上の曲線」、「関数と極限」、「微分法」、「積分法」です。

 

これらはⅠAⅡBの単元と密接な関係があるので、図にまとめてみました。


 [図をクリック(タップ)すると拡大できます]

おおまかな流れは矢印に示した通りです。

その単元を理解するうえで直接関係する内容を矢印で表しました。
式の計算や方程式の解法、証明の仕方などは入試数学の問題を解く上で必ず必要になるので、今回「土台」として位置づけました。

 

ただ実際、入試問題は分野をまたがって融合問題としても出題されるので、図にある矢印だけでは不十分です。

例えば、複素数平面と整数や確率が融合されていたり、確率と数列、極限が融合されていたりします。

 

まずはⅠAⅡBの内容を理解する

先ほどの図からも分かる通り、数学Ⅲのすべての単元はⅠAⅡBの内容に関係しますから、まずはⅠAⅡBの内容を理解しましょう。

ただ、数学Ⅲの内容とⅠAⅡBの内容が重複していることもあります。
例えば、数学Ⅱで学習する接線の方程式、増減表、面積などは数学Ⅲでも同じ部分があります。

数学Ⅱでは多項式で表される関数を考えますが、数学Ⅲになると三角関数や指数関数、対数関数など、いろいろな関数について考えることができるようになります。
それは、数学Ⅲの微積分の前に極限という単元で、いろいろな関数の極限を求められるようになっているからです。
いろいろな関数の極限が計算できることによって、定義に従って導関数を計算することができます。

 

数学Ⅲにも流れがある

このことからも分かる通り、数学Ⅲの中でも流れがあります。
それが図の中にもある、「平面上の曲線」、「関数と極限」から「微分法」、「積分法」に伸びている矢印の意味です。

入試問題では「平面上の曲線」の中で学習する二次曲線や媒介変数表示された関数の微分や積分を考えることがあります。

 

数学Ⅲを独学で進めるためにおすすめの参考書・問題集

ここからはおすすめの参考書・問題集を、レベル別に紹介していきます。

数学Ⅲ初学者におすすめする参考書・問題集

①教科書と教科書ガイド

②長岡の教科書 数学Ⅲ 全解説(旺文社)

③差がつくテーマ100選 志田晶の数学Ⅲの点数が面白いほどとれる本(中経出版)

④初めから始める数学Ⅲ(マセマ出版)

これらは数学Ⅲの基本から解説されているので、実際に手を動かし考えながら内容を理解しましょう。
そしてその考え方を使って問いを解いてみるといいでしょう。

解説を読んで、勉強が続けられそうなものを選んでください。

具体的な勉強方法は後ほど。

 

数学Ⅲの基本的な知識が習得出来たら取り組みたい参考書・問題集

①数学Ⅲ 基礎問題精講(旺文社)

数学3基礎問題精講

②ベイシス数学Ⅲ(河合出版)

③数学マニュアルⅢ(代々木ライブラリー)

④カルキュール数学Ⅲ(駿台文庫)

 

入試問題の基本から標準的な問題まで載せてあり、これらの中から1冊を仕上げるだけでも力はつきます。
④のカルキュールは教科書傍用の問題集に近く、計算問題が多く載っています。

 

問題集は解説が詳しいものがいいでしょう。
自分で読んだときに読みやすいものを選んでください。

 

数学Ⅲの実践的な演習のための参考書・問題集

①標準問題精講(旺文社)

②全レベル問題集数学Ⅲ⑤⑥(旺文社)


③チョイス新標準問題集(河合出版)

④スコアアップ!数学Ⅲ実戦教室(代々木ライブラリー)

⑤1対1対応の演習(東京出版)

⑥数学Ⅲスタンダード演習(東京出版)

これらは多少難易度の差がありますが、入試実践的な問題を扱う問題集です。
基礎知識がついていないと得るものは少ないです。

 

ここで紹介していない参考書・問題集の使い方

①チャート式シリーズ
②理解しやすい数学Ⅲ
③FOCUSシリーズ

 

いずれも内容は網羅されており、いろいろな難易度の問題が載っています。

これを一人で仕上げる根性があれば、1冊仕上げるだけで実力は相当つきます。
ただ、量が多く仕上げるまで時間がかかると思います。

 

ですから、これらの参考書は辞書のように使うといいでしょう。
分からない問題の解法を調べるというような使い方がいいと思います。

 

数学Ⅲを独学で学ぶ際の勉強の仕方


数学Ⅲの中にはきちんとした証明がなく直観に頼った部分もあります。

例えば、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0$となることや、中間値の定理などは直観的に成り立つとして考えられています。

 

そういった部分はありますが、証明できる部分もあるのでそういう部分は証明を考えてみるのがよいでしょう。
以下、2パターンの勉強方法を提案します。

 

時間をかけてゆっくりしっかり勉強するタイプの学習法

時間はかかりますが、単元を行ったり来たりするのではなくスムーズな流れで勉強できます。

数学Ⅲ初学者対象に上で紹介した参考書を使い、1つずつ丁寧に証明や原理を考えながら理解しましょう。

内容が難しければ一度飛ばして、実際に問題を解いて進めてもいいです。
ただし、後で必ずその部分に戻って証明や原理を考えることです。

 

問題が解けることによって内容が理解できることもあると思います。

このとき、「複素数平面」は数学Ⅲの他の単元とは独立しているので、学習するタイミングはいつでもいいと思います。

 

なるべく早い段階で一通り数学Ⅲの内容に触れる、特に計算を習得したいタイプの学習法

入試最重要単元の微積を早期に仕上げられますが、他の単元と関わる部分が出てくるので、学習する順番を考えないといけません。

数学Ⅲ初学者対象に上で紹介した参考書を使い、単元は「関数と極限」→「微分法」→「積分法」→「平面上の曲線」または「複素数平面」と進んでいきましょう。

 

積分法までは計算問題を含むので「カルキュール」などで計算演習を積みながら同時進行で理論を学習していけます。
計算力をつけるには時間がかかるので、最初に計算を仕上げてしまって、他の分野の学習をしながら計算演習し計算力をつけるのが狙いです。

微分計算の最中で「媒介変数表示された関数の微分」を考えることがあります。
これは「平面上の曲線」で学習する内容なので、このタイミングで「平面上の曲線」の媒介変数に関するところを学習するのをおすすめします。

 

「複素数平面」は微積分とは独立しているので、学習するタイミングはいつでもいいと思います。

 

数学Ⅲの基本的な知識が習得出来たら問題集に取り組む

問題集を解きましょう。

例えば、1週目は例題だけを解き、ポイントを確認して解答を作れるようにする。
間違った問題は何度も解き直し、あるいは参考書で調べながら内容を理解し、なぜ間違ったのかを考えましょう。
2週目で例題と練習問題などの類題を解く。

 

繰り返しになりますが、徹底して解き直し、1冊の問題集を仕上げて下さい、使い込んでください。

 

最後に——映像授業を活用する


今の時代は動画や映像が手軽に見られるようになっています。
そういったものを上手に使うのもいいでしょう。

初学者対象の講座を受講したり、単元別の動画を見たりして自分の足りないところを補ってください。

 

動画や映像は効率よく学べますが、時間の都合上扱えなかった問題もあります。
そういう部分は自分でカバーするしかありません。
是非、紹介した問題集などで演習してください。

 

1つずつ丁寧に理解し、自力で答案が作れるように何度も繰り返し勉強しましょう!

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