数学Ⅲの微積分基本公式集

どうも、こんにちは。高橋佳佑です。
今回は数学Ⅲの単元「微分積分」の基本公式を紹介いたします。

微分の基本公式

1. $f(x)=x^\alpha$（$\alpha$は実数）の微分は$f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$
2. $f(x)=\sqrt{x}$の微分は$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
3. $f(x)=\frac{1}{x}$の微分は$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
4. $f(x)=\sin x$の微分は$f'(x)=\cos x$
5. $f(x)=\cos x$の微分は$f'(x)=-\sin x$
6. $f(x)=\tan x$の微分は$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}$
7. $f(x)=e^x$の微分は$f'(x)=e^x$
8. $f(x)=a^x (a>0, a\neq 1)$の微分は$f'(x)=a^x \log a$
9. $f(x)=\log |x|$の微分は$f'(x)=\frac{1}{x}$

これらの関数は頻繁に微分するので覚えましょう。

積分の基本公式

$C$を積分定数とする。

1. $\int x^\alpha dx=\frac{1}{\alpha\,+1}x^{\alpha +1}+C$（$\alpha$は$-1$以外の実数）
2. $\int \frac{1}{x}dx=\log |x|+C$
3. $\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C$
4. $\int \cos x\,dx=\sin x+C$
5. $\int \sin x\,dx=-\cos x+C$
6. $\int \frac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x+C$
7. $\int \frac{1}{\sin^2 x}dx=-\frac{1}{\tan x}+C$
8. $\int e^x \,dx=e^x +C$
9. $\int a^x \,dx=\frac{a^x}{\log a}+C(a>0,a\neq 1)$
10. $\int \log x\,dx=x\log x-x+C$

7.は微分の公式に入れていませんが、積分では知識として覚えていくとよいでしょう。
もちろん、$\frac{1}{\tan x}$を微分すると、$-\frac{1}{\sin^2 x}$となることから簡単に確かめられます。

また、10.は部分積分という方法を使いますが、$\log$のつく関数を積分する機会は多いので、公式として覚えることをおすすめします。

おわりに

ここで紹介したものは基本公式です。
他にも積の微分、商の微分、部分積分、置換積分などまだまだ学習すべきことはいっぱいあります。
これらの基本公式をおさえた上でステップアップしていってください。

それでは、今回はこの辺で！

高橋佳佑

理学部数学科を卒業した後、首都圏の塾や予備校で受験数学を指導。

定義を大切にし、定理や公式の原理から問題解決の突破口を見つけ、実際に問題を解くときの考え方を示しながら答案を作成していく授業には定評がある。